Mengubah Citra Berwarna Menjadi Grayscale dan Thresholding

Mengubah Citra Berwarna Menjadi Gray-Scale Proses awal yang banyak dilakukan dalam image processing adalah mengubah citra berwarna menjadi citra gray-scale, hal ini digunakan untuk menyederhanakan model citra. Seperti telah dijelaskan di depan, citra berwarna terdiri dari 3 layer matrik yaitu R-layer, G-layer dan B-layer. Sehingga untuk melakukan proses-proses selanjutnya tetap diperhatikan tiga layer di atas. Bila setiap proses perhitungan dilakukan menggunakan tiga layer, berarti dilakukan tiga perhitungan yang sama. Sehingga konsep itu diubah dengan mengubah 3 layer di atas menjadi 1 layer matrik gray-scale dan hasilnya adalah citra gray-scale. Dalam citra ini tidak ada lagi warna, yang ada adalah derajat keabuan. Untuk mengubah citra berwarna yang mempunyai nilai matrik masing-masing r, g dan b menjadi citra gray scale dengan nilai s, maka konversi dapat dilakukan dengan mengambil rata-rata dari nilai r, g dan b sehingga dapat dituliskan menjadi: s = (r + g + b)/3 Thresholding Thresholding digunakan untuk mengatur jumlah derajat keabuan yang ada pada citra. Dengan menggunakan thresholding maka derajat keabuan bisa diubah sesuai keinginan, misalkan diinginkan menggunakan derajat keabuan 16, maka tinggal membagi nilai derajat keabuan dengan 16. Proses thresholding ini pada dasarnya adalah proses pengubahan kuantisasi pada citra, sehingga untuk melakukan thresholding dengan derajat keabuan dapat digunakan rumus: x = b.int(w/b) b= int(256/a) dimana : w adalah nilai derajat keabuan sebelum thresholding x adalah nilai derajat keabuan setelah thresholding

Baca Selengkapnya...

Kompresi Data

Dalam ilmu komputer, pemampatan data^[1] atau kompresi data adalah sebuah cara untuk memadatkan data sehingga hanya memerlukan ruangan penyimpanan lebih kecil sehingga lebih efisien dalam menyimpannya atau mempersingkat waktu pertukaran data tersebut. Ada terdapat dua jenis pemampatan data, yaitu pemampatan tanpa kehilangan (lossless data compression) dan pemampatan berkehilangan (lossy data compression).

Pemampatan data tanpa kehilangan

Teknik ini mampu memadatkan data dan mengembalikannya sama persis seperti semula. Tidak ada informasi yang hilang atau harus dikurangi dalam proses untuk mengurangi ukuran besar data. Biasanya algoritma pemadatan data jenis ini menggunakan prinsip kelebihan statistik (statistical redundancy) supaya data bisa disimpan dengan lebih ringkas. Karena kebanyakan data yang dipakai sehari-hari memiliki bagian yang berulang atau berlebihan (redundant data), pemampatan tanpa kehilangan bisa terjadi.
Contoh mudahnya, apabila berkas gambar berukuran 256x256 berwarna polos (setiap pixel berwarna sama) dan tiap pixelnya berukuran 4 byte, tanpa pemadatan, berkas harus disimpan berukuran 4 kali 256x256, sama dengan 262144 byte. Namun, dengan pemadatan, maka data yang perlu disimpan hanyalah data satu warna tersebut dan informasi bahwa seluruh pixel gambar memiliki satu warna yang sama. Jadi, data yang perlu disimpan hanyalah 4 byte tambah beberapa byte untuk menandakan pengulangan pixel yang sama. Ingatlah ini hanya contoh yang simpel.
Pemadatan tanpa kehilangan memiliki batas rendah di mana berkas tidak bisa dipadatkan lebih jauh lagi. Teorem Shannon menunjukkan bahwa pemadatan data tidak bisa menghasilkan kadar kode yang lebih rendah daripada entropi Shannon berkas, tanpa menyebabkan kehilangan informasi. Maka, apabila suatu berkas sudah dipadatkan (misalnya, berkas gambar disimpan di berkas .zip), berkas .zip tersebut tidak bisa lagi dipadatkan.
Contoh algoritma adalah Lempel-Ziv, Lempel-Ziv-Welch, Lempel-Ziv-Markov, FLAC, ALAC, dan PAQ.

Pemampatan data berkehilangan

Dengan teknik ini, kehilangan data yang kecil masih dapat diterima. Dengan algoritma tertentu, detil berkas dipangkas supaya ukuran data bisa dikecilkan. Contohnya, pemadatan data dengan format berkas gambar JPEG bisa menyimpan data yang banyak, tapi juga mampu memangkaskan bagian-bagian visual yang kurang penting demi menghemati memori simpan. Berkas MP3 bisa menyimpan data lagu yang bersuara lebih jernih, tapi juga bisa mengurangi mutu suara jika ukuran data harus dikurangi.
Contoh algoritma adalah MP3, JPEG, Ogg dan MPEG-2.

Source: http://id.wikipedia.org/wiki/Kompresi_data Baca Selengkapnya...

Cara Mendownload File Torrent Tanpa Torrent Client

Well, mungkin banyak di antara anda yang sering mengalami hal ini, download torrent dengan wifi (terutama dengan wifi kantor atau wifi kampus) sering lambat atau tidak berjalan sama sekali. Bahkan dengan menggunakan akun premium sekalipun. Hmm, mungkin postingan ini dapat sedikit membantu anda. Well, here we go.


1. Download file torrent atau salin url untuk mendownload file torrent itu.
2. Upload file torrent atau paste link url ke http://zbigz.com/ 
3. Klik Go dan ikuti proses selanjutnya dan pilih Free untuk setiap pop-op.
4. Tunggu sampai caching file dalam torrent selesai dan klik tombol download.
5. Gunakan IDM atau Downloader lainnya. 

Baca Selengkapnya...

Link URL Download Video Anime

Bagi para penggemar komik jepang atau para penggemar video anime, pasti sangat sedih jika satu episode anime favoritnya terlewat atau pun tidak ditayangkan lagi di Indonesia. Tapi Anda tidak perlu khawatir, jika terlewat, cukup di unduh saja. Nih saya kasih salah satu link download video anime yang bagus. Langsung aja linknya http://anime.thehylia.com/, isinya lumayan lengkap. Bahkan anime dari zaman veteran dulu ada lho.

Tapi sayang untuk sehari (24 jam) anda hanya dapat mendownload maksimal 10 video. Kalau ingin mendownload lebih banyak dalam waktu sehari semalam, silahkan untuk melakukan donasi ke situs itu. OK. Happy Download!

Baca Selengkapnya...

Tips Agar Koneksi Internet Lancar Saat Browsing Ketika Sedang Download

Pernahkah anda mencoba membuka halaman web ketika IDM sedang berjalan mengunduh dan halamannya terus loading tapi tak kunjung tampil? Jika ya, maka selamat! Anda cocok membaca postingan ini. Pertama kita akan membahas mengapa hal tersebut dapat terjadi. Alasannya adalah karena IDM menggunakan semua bandwidth internet anda tanpa tersisa.

Lalu bagaimana cara mengatasinya? Caranya gampang. Yang perlu anda lakukan adalah membatasi kecepatan download IDM anda. Dengan membatasi kecepatan download IDM anda maka IDM tidak akan menghabiskan bandwidth penggunaan internet anda. Selamat mencoba.

Baca Selengkapnya...

Sistem Pendukung Keputusan

Pengertian Sistem Pendukung Keputusan

Menurut Raymond McLeod (1998), Sistem Pendukung Keputusan adalah sistem penghasil informasi spesifik yang ditujukan untuk memecahkan suatu masalah tertentu yang harus dipecahkan oleh manager pada berbagai tingkatan. Menurut Litle, Sistem Pendukung Keputusan adalah suatu sistem informasi berbasis komputer yang menghasilkan berbagai alternatif keputusan untuk membantu manajemen dalam menangani berbagai permasalahan yang terstruktur dengan menggunakan data dan model. Menurut Alter dalam Kusrini (2007), DSS merupakan sistem informasi interaktif yang menyediakan informasi, pemodelan dan pemanipulasian data. Sistem ini digunakan untuk membantu pengambilan keputusan dalam situasi yang semi terstruktur dan situasi yang tidak terstruktur, dimana tak seorang pun tahu secara pasti bagaimana keputusan seharusnya dibuat.

Mintzberg terkenal dengan teorinya mengenai peranan managerial, teori ini mengemukakan sepuluh peranan managerial yang terbagi dalam tiga kategori, yaitu: interpersonal, informasional, desisional. Peranan informasonal mengemukakan bahwa manager mengumpulkan dan menyebarkan informasi, dan peranan desisional mengemukakan bahwa manager menggunakan informasi dalam pembuatan berbagai jenis keputusan. Ada empat peranan desisional menurut mintzberg :

1.      Pengusaha, ketika manager berperan sebagai pengusaha (entrepreneur) maka peningkatan hal ini yang bersifat permanent diabadikan sebagai organisasi.

2.      Orang yang menangani gangguan, ketika menajer berperan sebagai orang yang menangani gangguan (disturbace handler), maka ia akan memecahkan masalah yang belum di antisipasi. Ia membuat keputusan untuk merespon gangguan yang timbul seperti perubahan ekonomi, ancaman dari pesaing, dan adanya peraturan pajak baru.

3.       Pengalokasi sumber, dengan peranan sebagai pengalokasi sumber (resorce alocator), manager diharapkan mampu menentukan pembagian sumber organisasi kepada berbagai unit yang ada misalnya pembuatan keputusan untuk menetapkan anggaran operasi tahunan.

4.      Negosiator, dalm peran sebagai negosiator (negotiator), manager mengatasi perselisihan yang muncul dalam perusahaan dan perselisihan yang terjadi antara perusahaan dan lingkungannya. Contohnya melakukan negosiasi kontrak baru dengan serikat pekerja.

Secara Umum, Sistem Pendukung Keputusan adalah sebuah sistem yang mampu memberikan kemampuan, baik kemampuan pemecahan masalah maupun kemampuan pengkomunikasian untuk masalah semi terstruktur. Sedangkan secara Khusus, Sistem Pendukung Keputusan adalah sebuah sistem yang mendukung kerja seorang manager maupun sekelompok manager dalam memecahkan masalah semi-terstruktur dengan cara memberikan informasi ataupun usulan menuju pada keputusan tertentu.

Istilah Sistem Pendukung Keputusan (Sistem Pendukung Keputusan) atau Decision Support Systems (DSS) pada awalnya diciptakan oleh dua professor di MIT (Anthony Gorry dan Michael S.Morton) pada tahun 1971, keduanya merupakan profesor MIT, USA . Saat itu mereka merasakan perlunya suatu pemikiran untuk mengarahkan penggunaan aplikasi komputer untuk membantu pengambilan keputusan yang dilakukan oleh manajemen berdasarkan kepada konsep Simon mengenai keputusan yang terstruktur dan tidak terstruktur juga berdasarkan kepada konsep Robert N. Anthony tentang tingkat-tingkatan manajemen.

Menurut mereka DSS harus diarahkan untuk mendukung manajemen pada masalah-masalah yang semi-structured (semi-terstruktur), yaitu masalah yang memiliki informasi kurang lengkap sehingga para manager ragu dalam mengambil keputusan. DSS akan memberi dukungan atau alternatif penyelesaian sehingga para manager dapat menguji alternatif ini untuk memilih mana yang terbaik. (Akib, 2009).

Arsitektur Sistem Pendukung Keputusan

Karakteristik Sistem Pendukung Keputusan

Karakteristik dari Sistem Pendukung Keputusan adalah sebagai berikut:

1.      Mendukung pengambilan keputusan untuk membahas masalah-masalah terstruktur, semi struktur, dan tidak terstruktur

2.      Output ditujukan bagi personil organisasi dalam semua tingkatan

3.      Mendukung di semua fase proses pengambilan keputusan: intelegensi, desain, pilihan.

4.      Adanya interface manusia atau mesin, dimana manusia (user) tetap mengontrol proses pengambilan keputusan

5.      Menggunakan model-model metematis dan statistik yang sesuai dengan pembahasan

6.      Memiliki kemampuan dialog untuk memperoleh informasi sesuai dengan kebutuhan

7.      Memiliki subsistem-subsistem yang terintegrasi sedemikian rupa sehingga dapat berfungsi sebagai kesatuan sistem

8.      Membutuhkan struktur data komprehensif yang dapat melayani kebutuhan informasi seluruh tingkatan manajemen

9.      Pendekatan easy to use. Ciri suatu Sistem Pendukung Keputusan yang efektif adalah kemudahannya untuk digunakan dan memungkinkan keleluasaan pemakai untuk memilih atau mengembangkan pendekatan-pendekatan baru dalam membahas masalah yang dihadapi

10.  Kemampuan sistem untuk beradaptasi secara cepat, dimana pengambil keputusan dapat menghadapi masalah-masalah baru dan pada saat yang sama dapat menanganinya dengan cara mengadaptasikan sistem terhadap kondisi-kondisi perubahan yang terjadi (Turban dkk, 2005).

Ciri dan Kemampuan Sistem Pendukung Keputusan


Komponen Arsitektur SPK

1.      Komponen Data

a.       Sumber data

b.      Kontribusi vendor

2.      Komponen Dialog

a.       Knowledge Base

b.      Bahasa Tindakan

c.       Bahasa Representasi

3.      Komponen Model

a.       Model Optimasi

b.      Model Deskriptif

c.       Model Probabilistik dan Model Deterministik

Jenis-Jenis Sistem Pendukung Keputusan

Usaha berikutnya dalam mendefinisikan konsep DSS dilakuikan oleh Steven L. Alter. Alter melakukan study terhadap 56 sistem penunjang keputusan yang digunakan pada waktu itu, study tersebut memberikan pengetahuan dalam mengidentifikasi enam jenis DSS, yaitu :

1.      Retrive information element (memanggil elemen informasi).

2.      Analyze entries fles (mengenali semua file).

3.      Prepare reports form multiple files (laporan standar dari beberapa file).

4.      Estimate decisions qonsquences (meramalkan akibat dari keputusan).

5.      Propose decision (menawarkan keputusan ).

6.      Make decisions (membuat keputusan).

Tujuan Sistem Pendukung Keputusan

Tujuan utama sistem pendukung keputusan bukanlah proses pengambilan keputusan seefisien mungkin, tetapi seefektif mungkin. Sistem Pendukung Keputusan digunakan sebagai alat bantu bagi para pengambil keputusan untuk memperluas kapabilitas para pengambil keputusan, namun tidak untuk menggantikan penilaian para pengambil keputusan. Sistem Pendukung Keputusan ditujukan untuk keputusan-keputusan yang memerlukan penilaian atau untuk keputusan-keputusan yang sama sekali tidak dapat didukung oleh algoritma. Sistem Pendukung Keputusan meluas dengan cepat, dari sekadar alat pendukung personal menjadi komoditas yang dipakai bersama (Turban dkk, 2005).

Persoalan pengambilan keputusan, pada dasarnya adalah bentuk pemilihan dari berbagai alternatif tindakan yang mungkin dipilih yang prosesnya melalui mekanisme tertentu, dengan harapan akan menghasilkan sebuah keputusan yang terbaik. Sistem Pendukung Keputusan dapat memberikan dukungan dalam membuat keputusan dalam semua tingkatan level manajemen, baik individual maupun grup, terutama dalam situasi semi terstruktur dan tidak terstruktur, membawa kepada keputusan bersama dan informasi yang objektif. (Turban, 2004).

Tujuan dari pembuatan sistem pendukung keputusan yaitu (Turban, 2004):

1.      Membantu manager membuat keputusan untuk memecahkan masalah yang sepenuhnya terstruktur dan tidak terstruktur.

2.      Mendukung penilaian manager bukan mencoba menggantikannya.

Sistem pendukung keputusan tidak dimaksudkan untuk menggantikan manager. Komputer dapat diterapkan dalam menyelesaikan masalah yang terstruktur. Untuk masalah yang tidak terstruktur, manager bertanggung jawab menerapkan penilaian, dan melakukan analisis.komputer dan manager berkerjasama sebagai tim pemecahan masalah dalam memecahkan masalah yang berada di area semi terstruktur.

3.      Meningkatkan efektivitas pengambilan keputusan manager dari pada efisiensinya.

Cara Penggunaan Informasi Dari Sistem Pendukung Keputusan

Pada dasarnya dua pengguna informasi dari DSS oleh manager, yaitu untuk mendefinisikan masalah dan memecahkan masalah tersebut. Pendefinisian masalah adalah usaha definisi dari pendekatan sistem. Ia juga berkaitan dengan fase intelegensi yang di kemukakan oleh Simon. Selanjutnya manager menggunakan informasi untuk memecahkan masalah yang telah diidentifikasi. Hal ini merupakan usaha pemecahan menurut poendekatan sistim dan berkaitan denga fase disain dan pemilihan. Pada umumnya, lapaoran berkala dan khusus digunakan terutama dalam usaha definisi, dan simulasi dalam usaha pemecahan Laporan berkala dapat di rancang untuk menidentifikasi masalah atau masalah yang kemungkinan besar akan muncul, manager juga melakukan query terhadap database untuk menemukan masalah atau mempelajari lebih jauh lagi mengenai masalah yang telah diidentifikasi. Simulasi dapat juga membuka masalah yang tersembunyi, karna kelemahan cenderung akan kelihatan menonjol ketika operasi perusahaan diubah secara matematis. Laporan berkala dan khusus dapat juga membantu manager untuk memecahkan masalah dengan cara mengidentifikasi keputusan alternatif, mengevaluasi dan memilih alternatif tersebut, dan memberikan informasi lanjutan.

Definisi Pengambilan Keputusan

Proses pemilihan beberapa alternatif aksi yang bertujuan untuk memenuhi/menyelesaikan satu atau beberapa sasaran atau permasalahan, termasuk juga penyelidikan mengenai kesempatan-kesempatan yang ada. Aktivitas manajemen berupa pemilihan tindakan dari sekumpulan alternatif yang telah dirumuskan sebelumnya untuk memecahkan suatu masalah atau suatu konflik dalam manajemen Kerangka dasar pengambilan keputusan managerial dalam tipe keputusan dibagi menjadi :

1.      Keputusan Terstruktur (structured decision)

Keputusan terstrukut (structured decision) adalah keputusan yang berulang – ulang dan rutin, sehingga dapat diprogram. Keputusan terstruktur terjadi dan dilakukan terutama pada manajemen tingkat bawah. Contoh dari keputusan tipe ini misalnya adalah keputusan pemesanan barang, keputusan penagihan piutang dan lain sebagainya.

2.      Keputusan Tidak Terstruktur (unstructured decision)

Keputusan Tidak Terstruktur (unstructured decision) adalah keputusan yang tidak terjadi berulang – ulang dan tidak selalu terjadi. Keputusan ini terjadi di manajemen tingkat atas. Informasi untuk pengambilan keputusan tidak terstruktur tidak mudah untuk didapatkan dan tidak mudah tersedia dan biasanya berasal dari lingkungan luar. Pengalaman manager merupakan hal yang sangat penting di dalam pengambilan keputusan tidak terstruktur. Keputusan untuk bergabung dengan perusahaan lain adalah contoh keputusan tidak terstruktur yang jarang terjadi.

3.      Keputusan Semi Terstruktur (semi – structured decision)

Keputusan Semi Terstruktur (semi – structured decision) adalah keputusan yang sebagian dapat diprogram, sebagian berulang-ulang dan rutin dan sebagian tidak struktur. Keputusan tipe ini seringnya bersifat rumit dan membutuhkan perhitungan – perhitungan serta analisis yang terperinci. Contoh dari keputusan tipe ini misalnya adalah keputusan membeli sistem komputer yang lebih canggih. Contoh yang lainnya misalnya adalah keputusan alokasi dana promosi.

Jenis-jenis keputusan menurut HERBERT A. SIMON :

1.      Keputusan Terprogram, bersifat berulang dan rutin, sedemikian sehingga suatu prosedur pasti telah dibuat untuk menanganinya.

2.      Keputusan Tak Terprogram, bersifat baru, tidak terstruktur dan jarang konsekuen. Tidak ada metode yang pasti untuk menangani masalah ini.

KONSEP SIMON tentang tahap-tahap pengambilan keputusan digunakan untuk menentukan struktur masalah seperti dibawah ini:

1.      Masalah terstruktur - Merupakan masalah yang memiliki struktur pada tiga tahap pertama model Simon.

2.      Masalah tidak terstruktur - merupakan masalah yang sama sekali tidak memiliki struktur pada salah satu tahapan proses pengambilan keputusan Simon.

3.      Masalah semi terstruktur - merupakan masalah yang dapat menggunakan satu atau dua tahapan Simon.

Tahapan Proses Pengambilan Keputusan

Tahapan proses pengambilan keputusan terdiri dari langkah-langkah sebagai berikut:

1.      Tahap Penelusuran (Intellegence)

Tahap ini merupakan proses penelusuran, mengamati lingkungan mencari kondisi-kondisi yang perlu diperbaiki, pendeteksian dari lingkup problematika serta proses pengenalan masalah. Data yang diperoleh diproses dan diuji dalam rangka mengidentifikasikan masalah.

2.      Tahap Perancangan (Design)

Tahap ini merupakan proses menemukan, mengembangkan dan menganalisis tindakan yang mungkin dilakukan. Hal ini meliputi pemahaman terhadap masalah dan menguji solusi yang layak.

3.      Tahap Pemilihan (Choice)

Pada tahap dibuat suatu keputusan yang nyata dan diambil suatu komitmen untuk mengikuti suatu tindakan tertentu, memilih satu rangkaian tindakan tertentu dari beberapa yang tersedia.

4.      Tahap Implementasi (Implementation)

Pada tahap ini dibuat suatu solusi yang direkomendasikan dapat bekerja atau implementasi solusi yang diusulkan untuk suatu masalah.

Alat Pengambilan Keputusan

1.      Transaction Processing Systems (TPS)

2.      Management Information Systems (MIS)

3.      Office Automation Systems (OAS)

4.      Decision Support Systems (DSS)

5.      Group DSS (GDSS)

6.      Expert Systems (ES)

7.      Executive Information Systems (EIS)

8.      Artificial Neural Network (ANN)

Laporan

1.       Laporan berkala dan khusus

Laporan berkala atau periodic report yaitu laporan yang dibuat menurut jadwal tertentu contohnya adalah analis penjualan terhadap pelanggan perbulan dan laporan khusus atau special report yaitu laporan yang di buat ketika laporan dibuat ketika sesuatu yang tidak seperti biasanya terjadi contohnya laporan mengenai kecelakaan. Dalam penggunaannya laporan berkala dan khusus bersifat lengkap atau ringkas.

2.      Laporan lengkap dan ringkas

Laporan lengkap atau detail report yaitu laporan yang memberikan spesifikasi mengenai setiap tindakan atau transaksi dan baris yang mewakili tindakan atau transaksi disebut baris lengkap atau detail line sedangkan laporan ringkas atau summary report yaitu laporan yang menyertakan baris yang mewakili beberapa tindakan atau transaksi. Baris laporan biasanya di cetak dalam beberapa ururtan tertentu, field yang berada dalam record data, yang disebut key field atau control field digunakan untuk mengurutkan record sebelum laporan tersebut dicetak. Yang paling sering digunakan ialah Ascending sequence (urutan naik) disini nilai field control terendah (no pelanggan 0001 atau nama Aardbverk) didaftar pertama kali, dan nilai tertinggi (no 9999 atau zikmund) di daftar paling akhir.

Penggabungan Manajemen Dengan Pengecualian Ke Dalam Laporan

Kegunaan laporan sebagai alat pemecah masalah dapat ditingkatkan dengan menggabungkan manajemen dan pengecualian. Hal ini dapat dilakukan dengan empat cara :

1.      Menggunakan urutan laporan untuk menyorot pengecualian.

2.      Membuat laporan hanya jika terjadi pengecualian.

3.      Mengelompokan pengecualian bersama.

4.      Menunjukan varian dari norma.

Pemodelan Sistem Pendukung Keputusan

Karakteristik utama dari sistem pendukung keputusan adalah memasukkan sedikitnya satu model. Ide dasarnya adalah melakukan analisis sistem pendukung keputusan pada sebuah model realitas, dari pada analisis pada sistem nyata itu sendiri.

Definisi Model

Model adalah abstrak dari sesuatu; ia mewakili beberapa fenomena, yaitu objek dan aktivitas. Fenomena itu disebut entity. Contohnya jika sebuah model mewakili perusahaan maka perusahaan itu disebut entity-nya.

Menurut Raymond McLeod, Jr (McLeod, 1998) adalah penyederhanaan (abstraction) dari sesuatu. Sedangkan menurut Efraim Turban (Turban, 1998) adalah sebuah representasi atau abstraksi realitas yang disederhanakan. Karena realitas terlalu kompleks untuk ditiru secara tepat dan karena banyak dari kompleksitas itu sebenarnya tidak relevan dalam penyelesaian masalah yang spesifik. Representasi sistem atau masalah berdasarkan model dapat dilakukan dengan berbagai macam tingkat abstraksi, oleh karenanya model diklasifikasikan menjadi tiga kelompok menurut tingkat

abstraksinya, antara lain model iconik (skala), model analog, dan model matematik.

Model Iconik (Skala)

Sebuah model iconik, model abstraksi terkecil adalah replika fisik sebuah sistem, biasanya pada suatu skala yang berbeda dari aslinya. Model iconik dapat muncul pada tiga dimensi (miniatur maket), sebagaimana pesawat terbang, mobil, jembatan, atau alur produksi. Photografi adalah jenis model skala iconik yang lain, tetapi hanya dalam dua dimensi.

Model Analog

Sebuah model yang tidak tampak mirip dengan model aslinya, tetapi bersifat seperti sistem aslinya. Model analog lebih abstrak dari model iconik dan merupakan perpresentasi simbolik dari realitas. Model ini biasanya berbentuk bagan atau diagram 2 dimensi, dapat berupa model fisik, tetapi bentuk model berbeda dari bentuk sistem nyata. Berikut beberapa contoh lain :

1.      Bagan organisasi yang menggambarkan hubungan struktur otoritas, dan tanggung jawab.

2.      Sebuah peta dimana warna yang berbeda menunjukkan obyek yang berbeda misalnya sungai atau pegunungan.

3.      Bagan pasar modal yang menunjukkan pergerakan harga saham.

4.      Cetak biru dari sebuah mesin atau rumah.

Model Matematik (Quantitatif)

Kompleksitas hubungan pada banyak sistem organisasional tidak dapat disajikan secara model icon atau model analog, atau representasi semacam itu malah dapat menimbulkan kesulitan dan membutuhkan banyak waktu dalam pemakaiannya. Oleh karena itu model yang tepat dideskripsikan dengan model matematis. Sebagian besar analisis sistem pendukung keputusan dilakukan secara numerik dengan model matematis atau model quantitatif yang lain.

Model Statis dan Dinamis

Model statis ialah model yang tidak memasukkan waktu sebagai variabelnya. Ia berkaitan dengan situasi pada pada suatu saat tertentu sedangkan model dinamis ialah model yang memasukan waktu sebagai variabel, model ini mewakili tingkah laku entity sepanjang waktu.

Model Probabilitik dan Deterministik

Model probabilitas adalah model tentang adanya peluang akan terjadi sesuatu. Probabilitas mempunyai jangkauan 0,00 (untuk sesuatu yang tidak punya peluang) dan 1,00 (untuk sesuatu yang nyata-nyata terjadi). Sedangkan model deterministik ialah kebalikan dari model probabilitas.

Model Optimisasi dan Suboptimisasi

Model optimisasi adalah model yang menentukan pemecahan terbaik diantara altermatif yang ada. Agar supaya model tersebut dapat melakukan hal ini, masalah harus terstruktur dengan baik. Sedangkan model suboptimisasi yang seringkali disebut satisficing model ialah model yang memungkinkan manager untuk melakukan serangkaian keputusan, dan model tersebut akan memproyeksikan penyelesaian. Model ini tidak mengidentifikasikan keputusan yang akan mennghasilkan penyelesaian yang terbaik, namun menyerahkan tugas tersebut kepada manager.

Simulasi

Simulasi atau pemodelan ialah proses dari sebuah model yang mewakili entitynya. Skenario, digunakan untuk menjelaskan setting tempat terjadinya simulasi. Variable keputusan, nilai input yang dimasukan manager untuk mengukur dampak terhadap entity.

Keuntungan dan Kerugian Pemodelan

Manager yang menggunakan model matematis dapat memperoleh keuntungan sebagai berikut :

1.      Proses pemodelan menjadi pengalaman belajar.

2.      Kecepatan simulasi memberikan kemampuan bagi kita untuk mengevaluasi dampak keputusan dalam jangka waktu yang singkat.

3.      Model memberikan daya peramalan.

4.      Model membutuhkan biaya yang lebih murah daripada metode trial-and-error.

Sedangkan kerugian model adalah sebagai berikut:

1.      Sulitnya pemodelan sistem bisnis dan akan menghasilkan model yang tidak dapat menangkap semua pengaruh pada entity.

2.      Dibutuhkan keterampilan matematika yang tinggi untuk menggembangkan model yang lebih kompleks secara pribadi.

Grafik Komputer

Setiap manager pada umumnya harus mempunyai kemampuan membuat grafik. Namun demikian, pada kenyatannya, riset menyatakan bahwa penggunan grafik ternyata tidak selalu lebih baik dari pada pengguna table. Grafik nampaknya lebih baik dalam situasi tertentu, seperti :

1.      Mencari ringkasan data yang cepat.

2.      Mendeteksi trend masa lalu.

3.      Membandingkan point dan pola variable yang berbeda.

4.      Meramal aktivitas masa mendatang.

5.      Mencari kesan yang relatif sederhana dari sejumlah besar informasi yang ada.

Bahasa Generasi Keempat

Sofware dimasukan kedalam perpustakaan software DSS untuk menghasilkan tiga jenis output. Pada mulanya, satu-satunya cara ialah dengan mengkode program dengan bahasa pemograman. Dengan munculnya trend end-user computing, maka lahirlah bahasa yang baru yang dinamakan fourth-generatioan language (bahasa generasi keempat) atau 4GL.

1.      Bahasa Pemodelan

Bahasa pemodelan atau modeling language dibuat untuk membuat tugas pembentukan model menjadi lebih mudah dari pada menggunakan bahasa berorientasi salah satu bahasa pemodelan yang pertama adalah GPSS (General Purpose Simulation System) yang dikembangkan IBM pada awal tahun 1960-an.

2.      Bahasa Tingkat Sangat Tinggi

Very high level language atau bahasa tingkat sangat tinggi biasanya digunakan untuk menjelaskan bahasa pemograman, seperti APL, yang menawarkan kesingkatan dan daya di atas dan melebihi apa yang bisa dilakukan oleh bahasa konversional.

3.      Generator aplikasi

Application generator atau generator aplikasi menghasilkan program aplikasi seperti inventarisasi dan penggajian tanpa pemograman.

4.      Penulisan Laporan

Penulisan laporan dirancang secara khusus untuk membuat laporan.

5.      Generator Grafik

Graph generator atau generator grafik yang juga disebut graphics package digunakan untuk menampilkan atau mencetak data dalam berbagai macam bentuk grafik.

6.      Bahasa Query Database

Bahasa yang memungkinkan kita untuk menampilkan data dari berbagai tabel dari beberapa bentuk Kriteria.

Sumber Data

Sumber data terbagi atas tiga, yaitu:

1.      Data Internal

Data internal merupakan data yang berasal dari dalam organisasi. Data internal diperoleh dari sistem proses transaksi perusahaan atau organisasi.

2.      Data Eksternal

Data eksternal merupakan data yang berasal dari luar organisasi, dan harus dimonitor dan ditangkap untuk meyakinkan bahwa data penting tidak terabaikan. Data eksternal diperoleh dari luar organisasi, misalnya data industri, data penelitian pasar, data sensus, data ketenagakerjaan regional, peraturan pemerintah, tarif pajak atau data perekonomian nasional yang dapat diperoleh lewat internet atau komputerisasi online.

3.      Data Ekstraksi

Data ekstraksi merupakan penggabungan dari data internal dan data eksternal. Proses data ekstraksi akan menghasilkan basis data sistem pendukung keputusan. Data ekstraksi meliputi: import file, meringkas, menyaring dan mengkondensasi data yang menghasilkan laporan dari data yang ada di basis data. Proses ekstraksi dikelola dalam DBMS (Database Management System).

Komponen Sistem Pendukung Keputusan

Untuk dapat menerapkan sistem pendukung keputusan ada empat subsistem yang harus disediakan yaitu subsistem manajemen data, subsistem manajemen model, subsistem manajemen pengetahuan dan subsistem antar muka pengguna.

1.      Subsistem manajemen data

Merupakan subsistem yang menyediakan data bagi sistem. Sumber data berasal dari data internal dan data eksternal. Subsistem ini termasuk basis data, berisi data yang relevan untuk situasi dan diatur oleh perangkat lunak yang disebut database management system (DBMS).

2.      Susbsistem manajemen model

Merupakan subsistem yang berfunsi sebagai pengelola berbagai model. Model harus bersifat fleksibel artinya mampu membantu pengguna untuk memodifikasi atau menyempurnakan model, seiring dengan perkembangan pengetahuan. Perangkat lunak ini disebut model base management system (MBMS).

3.      Subsistem manajemen pengetahuan

Sebagai pendukung sembarang subsistem yang lain atau sebagai suatu komponen yang bebas. Subsistem ini berisi data item yang diproses untuk menghasilkan pemahaman, pengalaman, kumpulan pelajaran dan keahlian.

4.      Susbsistem antar muka pengguna

Merupakan fasilitas yang mampu mengintegrasikan sistem terpasang dengan pengguna secara interaktif. Melalui sistem dialog ini sistem diartikulasikan sehingga dapat berkomunikasi dengan sistem yang dirancang atau pengguna dapat berkomunikasi dengan sistem pendukung keputusan dan memerintah sistem pendukung keputusan melalui sistem ini.

Subsistem Manajemen Data

Subsistem manajemen data tersusun dari beberapa elemen struktur subsistem manajemen data, yaitu :

1.      Basis Data Sistem Pendukung Keputusan

Basis data merupakan kumpulan data yang saling berhubungan dan diorganisasikan untuk memenuhi kebutuhan struktur organisasi yang dapat digunakan pada single user dan multiuser. Untuk sistem pendukung keputusan yang besar basis datanya tersimpan dalam data warehouse. Data dalam basis data sistem pendukung keputusan berasal dari sumber data internal dan data eksternal. Data internal diperoleh dari sistem proses transaksi perusahaan atau organisasi. Data eksternal diperoleh dari luar organisasi. Ekstraksi digunakan untuk membangun basis data atau data warehouse sebuah sistem pendukung keputusan perlu untuk mengambil data dari berbagai sumber. Operasi ini disebut ekstraksi, meliputi import file, meringkas, menyaring dan mengkondensasi data yang menghasilkan laporan dari data yang ada di basis data. Proses ekstraksi dikelola dalam DBMS (Database Management System).

2.      Sistem Manajemen Basis data

Merupakan sistem yang dipergunakan untuk mengintegrasikan beberapa file ke dalam suatu basis data. Basis data dibuat diakses, dan diubah dengan DBMS dan kebanyakan sistem pendukung keputusan dibuat dengan DBMS. Kekuatan sistem pendukung keputusan muncul ketika basis data terintegrasi dengan modelnya. Kemampuan DBMS dalam sistem pendukung keputusan:

a.    Menangkap atau ekstraksi data untuk dimasukkan dalam basis data sistem pendukung keputusan.

b.    Mengupdate (menambah, menghapus, mengubah) data dan file.

c.    Data terhubung dengan dari sumber yang berbeda.

d.    Memperoleh kembali data dari basis data untuk pelaporan

e.    Memiliki pengamanan data dan kemampuan recovery secara menyeluruh.

3.      Fasilitas Query

Fasilitas query memungkinkan untuk akses, manipulasi dan query data. Fasilitas query menerima permintaan data dari komponen sistem pendukung keputusan, menentukan apakah permintaan dapat dipenuhi, memformulasikan permintaan yang dirinci, dan memberikan kembali kepada peminta. Fungsi penting sistem query sistem pendukung keputusan adalah menseleksi dan memanipulasi operasi-operasi.

4.      Direktori Data

Direktori data adalah katalog dari semua data yang ada dalam basis data. Direktori data berisi definisi data dan gunanya terutama untuk menjawab pertanyaan mengenai data yang tersedia, sumbernya dan arti sesungguhnya. Direktori khususnya diperuntukkan mendukung tahap kecerdasan (intelligent phase) pada proses pembuatan keputusan yaitu membantu dalam mengamati data dan mengenali masalah atau kesempatan.

Subsistem Manajemen Model

Subsistem manajemen model dari sistem pendukung keputusan terdiri dari basis model, sistem manajemen basis model, model directory dan model eksekusi, integrasi dan pelaksanaan model.

1.      Basis Model

Basis model adalah berisi model-model yang yang menyediakan kemampuan analisis pada sistem pendukung keputusan. Hal yang membedakan sistem pendukung keputusan dari Computer Base Information System adalah kemampuannya dalam mengubah, menggabungkan, menjalankan dan memeriksa model. Model-model dalam model base dapat dipecah menjadi empat kategori utama yaitu: adalah strategic model, tactical model, operational model, dan building block.

a.    Strategic model, digunakan untuk membantu manager perencana strategik. Pengaruh yang ditimbulkan keputusan-keputusan tersebut pada seluruh organisasi pada tahun-tahun yang akan datang, seperti menentukan tujuan perusahaan, perencanaan merger dan akuisisi, pemilihan lokasi pabrik, analisa dampak lingkungan dan pembelanjaan modal tak rutin. Kebanyakan menggunakan data eksternal.

b.    Tactical model, digunakan untuk mendukung manajemen tingkat menengah dalam membantu mengalokasikan dan mengontrol sumber daya yang dimiliki organisasi. Hal ini bermakna tanggung jawab untuk melaksanakan rencana dan memastikan tercapainya tujuan. Contoh perencanaan kebutuhan tenaga kerja, perencanaan promosi penjualan, layout pabrik, dan pembelanjaan rutin. Cakupan waktunya bervariasi antara 1 bulan hingga kurang dari 2 tahun. Beberapa data eksternal dibutuhkan meski kebutuhan terbesarnya adalah data internal.

c.    Operational model, digunakan untuk mendukung aktifitas kerja sehari-hari dalam organisasi, yaitu tempat berlangsungnya operasi perusahaan atau bertanggung jawab menyelesaikan rencana-rencana yang telah ditetapkan model-model sebelumnya. Contoh penjadwalan produksi, kontrol persediaan. Model yang digunakan untuk membantu mengambil keputusan manager tingkat bawah dengan cakupan waktu harian hingga bulanan. Model ini biasanya menggunakan data internal.

d.    Model building block, digunakan untuk menentukan variabel, parameter dalam model dan dapat digunakan sebagai analisis data, sebagai komponen dari model yang lebih besar. Beberapa building block dalam sistem pendukung keputusan adalah perangkat lunak yang dijual di pasaran.

2.      Sistem Manajemen Basis Model

Merupakan sebuah perangkat lunak dengan fungsi sebagai pembuatan model, pembaruan model, pengubahan model, dan manipulasi data. Sistem manajemen basis model mampu menghubungkan model-model dengan jaringan yang sesuai lewat basis data. Kemampuan yang dimilikinya meliputi :

a.    Kemampuan untuk menciptakan model-model baru secara cepat dan mudah.

b.    Kemampuan untuk mengakses dan meng-integrasikan modelmodel keputusan.

c.    Kemampuan untuk mengelola basis model dengan fungsi manajemen analog dan basis data.

3.      Model Directory

Merupakan katalog semua model dalam basis model yang terdiri dari definisi model dengan fungsi utamanya untuk menjawab pertanyaan tentang keberadaan dan kemampuan model dalam basis model

4.      Model Eksekusi, Integrasi Dan Pelaksanaan Model

Model eksekusi berfungsi mengontrol jalannya aktifitas aktual atau nyata dari model. Model integrasi berfungsi menggabungkan operasi beberapa model jika diperlukan misal mengarahkan keluaran satu model untuk diolah oleh model yang lain. Sedangkan model pelaksanaan digunakan untuk menerima dan menerjemahkan instruksi model dari model lain.

Subsistem Antar Muka Pengguna

Antar muka pengguna meliputi semua aspek komunikasi antara pengguna dengan management Support System (MSS). Antar muka pengguna (User Interface) yang tidak nyaman dan terlalu rumit

menyebabkan manager tidak menggunakan komputer meskipun teknologinya sudah tersedia. Komponen dialog adalah perangkat keras dan perangkat lunak yang menyediakan antarmuka pengguna (User Interface) sistem pendukung keputusan. Istilah antarmuka pengguna meliputi semua aspek komunikasi antara pengguna dengan sistem pendukung keputusan. Subsistem dialog diatur oleh perangkat lunak yang disebut sebagai dialog generation and management system (DGMS). DGMS juga sering disebut sebagai user interface management system (UIMS). DGMS memungkinkan pengguna berinteraksi dengan subsistem manajemen model dan manajemen data.

Subsistem Manajemen Pengetahuan

Subsistem ini bersifat optional, dimana beberapa keahlian dapat ditambahkan dengan sistem pakar atau sistem kecerdasan. Sistem pendukung keputusan tingkat lanjut dilengkapi komponen yang disebut knowledge management. Komponen tersebut dapat menambahkan keahlian yang dibutuhkan guna memecahkan beberapa aspek masalah dan memberi pengetahuan yang bisa meningkatkan operasi komponen lain.

Simple Additive Weighting Method (SAW)

Metode SAW sering juga dikenal istilah metode penjumlahan terbobot. Konsep dasar metode SAW adalah mencari penjumlahan terbobot dari rating kinerja pada setiap alternatif dari semua atribut. Metode SAW membutuhkan proses normalisasi matriks keputusan (X) ke suatu skala yang dapat diperbandingkan dengan semua rating alternatif yang ada. Konsep dasar metode SAW adalah mencari penjumlahan terbobot dari rating kinerja pada setiap alternatif pada semua kriteria (Kusumadewi, 2006). Metode SAW membutuhkan proses normalisasi matrik keputusan ke suatu skala yang dapat diperbandingkan dengan semua rating alternatif yang ada.

Metode SAW mengenal adanya 2 (dua) atribut yaitu kriteria keuntungan (benefit) dan kriteria biaya (cost). Perbedaan mendasar dari kedua kriteria ini adalah dalam pemilihan kriteria ketika mengambil keputusan.  Adapun langkah penyelesaian dalam menggunakannya adalah:

1.      Menentukan alternatif, yaitu Ai.

2.      Menentukan kriteria yang akan dijadikan acuan dalam pengambilan keputusan, yaitu Cj.

3.      Memberikan nilai rating kecocokan setiap alternatif pada setiap kriteria.

4.      Menentukan bobot preferensi atau tingkat kepentingan (W) setiap kriteria.

5.      Membuat tabel rating kecocokan dari setiap alternatif pada setiap kriteria.

6.      Membuat matrik keputusan yang dibentuk dari tabel rating kecocokan dari setiap alternatif pada setiap kriteria. Nilai setiap alternatif (Ai) pada setiap kriteria (Cj) yang sudah ditentukan, dimana, i=1,2,…m dan j=1,2,…n.

7.      Melakukan normalisasi matrik keputusan dengan cara menghitung nilai rating kinerja ternomalisasi (rij) dari alternatif Ai pada kriteria Cj.

Jika j adalah kriteria keuntungan (benefit)

Jika j adalah kriteria biaya (cost)

dimana rij adalah rating kinerja ternormalisasi dari alternatif Ai pada atribut Cj; i=1,2,...,m dan j=1,2,...,n. Nilai preferensi untuk setiap alternatif (Vi) diberikan sebagai

Nilai Vi yang lebih besar mengindikasikan bahwa alternatif Ai lebih terpilih.

a.       Dikatakan kriteria keuntungan apabila nilai memberikan keuntungan bagi pengambil keputusan, sebaliknya kriteria biaya apabila menimbulkan biaya bagi pengambil keputusan.

b.      Apabila berupa kriteria keuntungan maka nilai dibagi dengan nilai dari setiap kolom, sedangkan untuk kriteria biaya, nilai dari setiap kolom dibagi dengan nilai

8.      Hasil dari nilai rating kinerja ternomalisasi (rij) membentuk matrik ternormalisasi (R)

9.      Hasil akhir nilai preferensi (Vi ) diperoleh dari penjumlahan dari perkalian elemen baris matrik ternormalisasi (R) dengan bobot preferensi (W) yang bersesuaian eleman kolom matrik (W). Hasil perhitungan nilai Vi yang lebih besar mengindikasikan bahwa alternatif Ai merupakan alternatif terbaik (Kusumadewi, 2006).

Fuzzy Multiple Attribute Decision Making

FMADM adalah suatu metode yang digunakan untuk mencari alternatif optimal dari sejumlah alternatif dengan kriteria (atribut) tertentu. Inti dari FMADM adalah menentukan nilai bobot untuk setiap atribut, kemudian dilanjutkan dengan proses perangkingan yang akan menyeleksi alternatif yang sudah diberikan (Wibowo S, 2009). Sebagian besar pendeketan FMADM dilakukan melalui 2 langkah, yaitu : pertama, membuat rating pada setiap alternatif berdasarkan agregasi drajat kecocokan pada semua kriteria; kedua melakukan perangkingan alternatif-alternatif keputusan tersebut. Dengan demikian, bisa dikatakan bahwa, masalah FMADM adalah mengevaluasi m alternatif Ai (i=1,2,…,m) terhadap sekumpulan atribut atau kriteria Cj (j=1,2,…,n), dimana setiap atribut saling tidak bergantung satu dengan yang lainnya. Dimana xij merupakan rating kinerja alternatif ke-i terhadap atribut ke-j. Nilai bobot yang menunjukkan tingkat kepentingan relatif setiap atribut, diberikan sebagai, W :

W = { w1, w2, … , wn }

Rating kinerja (X), dan nilai bobot (W) merupakan nilai utama yang merepresentasikan preferensi absolute dari pengambil keputusan. Masalah FMADM diakhiri dengan proses perangkingan untuk mendapatkan alternatif terbaik yang diperoleh berdasarkan nilai keseluruhan preferensi yang diberikan.(Kusumadewi, 2006)

Multiple Attribute Decision Making

Multiple Attribute Decision Making (MADM) adalah suatu metode yang digunakan untuk mencari alternatif optimal dari sejumlah alternatif dengan kriteria tertentu. Inti dari MADM adalah menentukan nilai bobot untuk setiap atribut, kemudian dilanjutkan dengan proses perankingan yang akan menyeleksi alternatif yang sudah diberikan. Pengambil keputusan boleh jadi melihat salah satu atribut sebagai yang mempunyai pengaruh besar dan yang lainya memiliki pengaruh kecil, faktanya jika analisis awalnya dalam pengeliminasian alternatif mengalami kegagalan apapun itu bmembutuhkan kinerja yang minimal. (Kahraman, 2008).

Pada dasarnya, ada 3 (tiga) pendekatan untuk mencari nilai bobot atribut, yaitu pendekatan subjektif, pendekatan objektif dan pendekatan integrasi antara subjektif dan objektif. Masing-masing pendekatan memiliki kelebihan dan kelemahan. Pada pendekatan subjektif, nilai bobot ditentukan berdasarkan subjektivitas dari para pengambil keputusan, sehingga beberapa faktor dalam proses perankingan alternatif bisa ditentukan secara bebas. Pada pendekatan objektif, nilai bobot dihitung secara matematis sehingga mengabaikan subyektivitas dari pengambil keputusan.

Baca Selengkapnya...

Logika Matematika

A.    Kalimat Pernyataan

Pengertian logika matematika termasuk logika modern dan logika tradisional dengan pentingnya belajar logika secara panjang lebar disajikan dalam buku materi pokok (modul) mata kuliah Pengantar Dasar Matematika. Khusus dalam sajian sekarang kita akan mengawalinya dengan salah satu konsep dasar logika matematika yang disebut pernyataan atau proposisi (propotition).

1.      Kalimat Pernyataan

Dalam pelajaran logika matematika kalimat pernyataan haruslah dibedakan dengan kalimat-kalimat biasa dalam bahasa sehari-hari. Kalimat pernyataan atau disingkat dengan pernyataan tidak sama dengan kalimat biasa, sebab dalam kalimat biasa sering dipilih kata-kata yang pantas, yang mudah, kiasan atau ungkapan yang kabur, dan kadang-kadang dipakai kata-kata yang bermakna ganda. Sebaliknya dalam pernyataan tidaklah demikian, tetapi kalimatnya haruslah lengkap, tidak kabur dan jelas.

Suatu ciri logis dalam pelajaran matematika, bahwa yang dimaksudkan dengan pernyataan yaitu suatu kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tidak dua-duanya pada saat yang sama, artinya tidak sekaligus benar dan salah. Sedangkan kalimat yang benar tidak, salahpun tidak adalah bukan pernyataan. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan tiga kelompok contoh berikut ini.

Contoh 1 (Pernyataan yang benar) :

 a. Jakarta adalah ibu kota negara Republik Indonesia

b. Jika x = 4, maka 2x = 8

c. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

Contoh 2 (Pernyataan yang salah) :

a. Udara adalah benda padat

b. x – y = y – x; x y 2

c. Setiap bilangan prima adalah ganjil

Contoh 3 (Bukan pernyataan) :

a. x + 7 = 0

b. x2 + 2x – 15 = 0

c. a + b > 9

Istilah-istilah lain untuk pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement, atai proposisi. Sedangkan istilah lain untuk kalimat yang bukan pernyataan adalah kalimat matematika terbuka atau kalimat terbuka. Namun ada beberapa akhli logika dalam bukunya yang membedakan istilah pernyataan dan istilah proposisi. Hal ini berhubungan dengan pemakaiannya. Istilah pernyataan (statement) digunakan untuk menyatakan, sedangkan istilah proposisi (proposition) digunakan untuk kalimat tertutup. Akan tetapi pada umumnya para ahli logika tidak membedakan pengertian pernyataan dan pengertian proposisi.

2.      Pernyataan Tunggal dan Pernyataan Majemuk

Suatu kalimat selain dapat dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, kalimat itu dibedakan pula atas pernyataan tunggal (simple statement) dan pernyataan majemuk (compound statement). Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana ialah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain sebagai bagiannya. Pernyataan majemuk itu bisa merupakan kalimat baru yang diperoleh dari penggabungan bermacam-macam pernyataan tunggal.

Contoh 4

a. Pernyataan “19 adalah bilangan prima” dapat dilambangkan dengan huruf “p” saja.

b. Pernyataan “x² = 1” dilambangkan “r”, dan sebagainya.

Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat kita gabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk. Sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk itu disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja berupa pernyataan majemuk. Namun yang perlu untuk kita adalah bagaimana mengusahakan cara menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.

Untuk menggabungkan pernyatan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata hubung atau kata perangkai yang disebut operasi-operasi logika matematika. Dalam pelajaran logika ini Anda jumpai operasi-operasi seperti dalam pelajaran matematika lainnya, yaitu operasi binar (binary operation), atau operasi yang dikenakan pada dua pernyaan dan operasi monar (monary operation) operasi pada sebuah pernyataan.

Operasi-perasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk yang kita kenal adalah:

1. Negasi atau ingkaran atau sangkalan, dengan kata penyangkalan “tidaklah benar”.

2. Konjungsi, dengan kata perangkai “dan”.

3. Disjungsi dengan kata perangkai “atau”.

4. Implikasi atau kondisional, dengan kata perangkai “jika … maka …”.

5. Biimplikasi atau bikondisional, dengan kata perangkai “ … jika dan hanya jika …”.

Untuk lebih memahami pernyataan-pernyataan mejemuk dapatlah kita perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Contoh 5

a. Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih.

b. Ani dan Ana anak kembar

c. Cuaca cerah atau udara panas.

d. Jika x > 0 maka = x.

e. Suatu segitiga adalah sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama.

f. Tidaklah benar bahwa 15 adalah bilangan prima.

Contoh 5. a adalah pernyataan majemuk yaitu suatu konjungsi, sebab pernyataan “Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih” terdiri dari dua pernyataan tunggal sebagai komponen-komponennya, yaitu : “ Bunga mawar berwarna merah” dan “Bungan melati berwarna putih”. Sedangkan contoh 5. b adalah bukan pernyataan majemuk bentuk konjungsi, sebab dalam contoh ini tidak memuat dua komponen meskipun menggunakan kata “dan” tetapi ini adalah pernyataan tunggal yang menyatakan hubungan. Tetapi contoh-contoh 5. 3 sampai contoh 5. f adalah bentuk-bentuk pernyataan majemuk.

3.      Nilai Kebenaran Pernyataan

Seperti Anda ketahui, bahwa suatu pernyataan hanyalah bisa benar saja atau salah saja. Kebenaran atau kesalahan dari suatu pernyataan disebut nilai kebenaran dari pernyataan itu. Untuk pernyataan yang mempunyai nilai benar diberi tanda B (singkatan dari benar) sedangkan kepada pernyataan yang bernilai salah diberikan nilai kebenaran S (singkatan dari salah).

Ucapan nilai kebenaran dilambangkan dengan “t” (huruf Yunani tau = 300). Nilai kebenaran dari suatu pernyataan p ditulis t(p) , dan jika pernyataan p itu adalah benar maka t(p) = B, sedangkan jika pernyataan p itu salah maka t(p) = S.

Contoh 6

a. Jika p : “5 adalah bilangan genap”, maka (p) = S.

b. Jika q : “5<9, maka (q) = B.

c. Jika r : “Semua bilangan prima adalah ganjil”, maka (r) = S.

Perlu diketahui pula bahwa ada penulis yang memberikan nilai 1 atau benar atau T (True) kepada pernyataan yang benar, dan memberikan nilai 0 atau salah atau F (False) kepada pernyataan yang salah.

B.     Operasi-operasi Logika

Seperti sudah disebutkan sebelumnya, bahwa untuk membentuk suatu pernyataan majemuk dari beberapa pernyataan tunggal diperlukan adanya kata perangkai. Kata perangkai disebut pula kata hubung atau perakit yang fungsinya hampir sama dengan operasi-operasi dalam pelajaran matematika yang sudah Anda kenal, seperti operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan sebagainya. Kata perangkai ini disebut operasi-operasi logika matematika. Untuk selanjutnya Anda harus dapat menentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan majemuk. Hal ini akan dapat dilakukan, jika diketahui nilai kebenaran komponen-komponennya, yaitu pernyataan-pernyataan yang digabungkan. Maka sangatlah penting untuk memahami sungguh-sungguh apa arti masing-masing operasi logika matematika tersebut.

1.      Operasi Negasi

Operasi negasi (negation) atau penyangkalan, atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan dengan tanda “~ ” atau “ – “ yang disebut tilde atau curl. Untuk selanjutnya akan dipakai simbol . Seandainya p sebuah pernyatan tunggal, maka “~ p” dibaca negasi p atau tidak p, atau bukan p, adalah pernyataan majemuk. Mungkin ada yang merasa sedikit janggal bahwa negasi merupakan suatu operasi logika matemtika, sehingga suatu pernyataan bernegasi atau penyangkalan dari suatu pernyataan merupakan suatu pernyataan majemuk. Namun jelaslah bahwa dalam pernyataan-pernyataan negasi itu pertama-tama terdapat suatu pernyataan atau proposisi yang bersifat tunggal, misalnya : Harimau adalah binatang buas

Untuk menjadikan suatu pernyataan negasi, diperlukan pernyataan lain, yang menyatakan bahwa proposisi yang pertama tadi tidak benar, misalnya : Itu tidak benar . Dengan demikian terdapatlah suatu proposisi negasi yang mejemuk : (Itu) tidak benar bahwa harimau adalah binatang buas.

 Proposisi negasi ini sering dibahasakan dengan menggunakan kata tidak atau bukan. Proposisi mejemuk di atas juga bisa dinyatakan sebagai berikut :  Harimau adalah bukan binatang buas. Atau :  Tidak benar bahwa harimau binatang buas Untuk lebih memahaminya coba Anda perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Contoh 7

a. Jika p : 3 + 4 = 7 maka p : Tidaklah benar 3 + 4 = 7 atau : 3 + 4 =7

b. Jika q : Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil maka q : Tidaklah benar semua bilangan prima adalah bilangan ganjil atau : Beberapa bilangan prima bukan bilangan ganjil

Kalau Anda perhatikan, ternyata bahwa negasi dari sebuah pernyataan yang benar adalah salah, dan negasi dari pernyataan yang salah adalah benar. Jadi, (p) = B maka (p) = S, dan jika (q) = S maka (q) = B. Secara umum berlaku definisi : Sebuah pernyataan dan penyangkalannya mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan. Definisi ini dapat ditulis dalam bentuk tabel kebenaran seperti tabel berikut ini :

Baris pertama (1) merupakan singkatan dari

(1) B S pernyataan “Jika p benar, maka ~p adalah salah”.

(2) S B pernyataan “Jika p salah, maka ~p adalah benar”.

Contoh 8

a. Jika p : 30 + 10 = 20, t(p) = S maka p : Tidak benar bahwa 30 + 10 = 20, atau : 30 + 10 > 20, t(p) = B b. Jika r : Beberapa penerbang adalah wanita, t(r) = B maka r : Tidak benar bahwa beberapa penerbang adalah wanita, t(r) = S atau Salah bahwa beberapa penerbang adalah wanita, t(r) = S atau Semua penerbang bukan wanita, t(r) = S

2.      Operasi Konjungsi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi (conjunction). Sedangkan pernyataan-pernyataan tunggal yang digabungkannya disebut konjung-konjung (komponen-komponen). Dalam logika matematika, operasi konjungsi yaitu kata dan yang berfungsi sebagai penghubung dua pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dinotasikan dengan tanda “^“ atau “ . “ (dot), tetapi dalam modul ini yang akan dipakai adalah notasi “^“.

Contoh 9

a. Jika p : 7 – 2 = 5 dan q : 5 adalah bilangan prima maka p ^ q : 7 – 2 = 5 dan 5 adalah bilangan prima.

b. Jika p : Bandung Ibu kota Jawa barat dan q : 3 + 7 = 10 maka p ^ q : Bandung Ibu Kota Jawa Barat dan 3 + 7 = 10.

Dalam membentuk pernyataan majemuk tidaklah diharuskan bahwa pernyataan-pernyataan tunggal yang digabungkan satu sama lainnya mempunyai suatu arti. Seperti halnya contoh 9. b di atas, antara pernyataan tunggal yang satu dengan pernyataan tunggal yang satunya lagi tidak mempunyai kaitan arti apa-apa. Hal ini berlaku pula untuk kalimat-kalimat majemuk lain yang dibentuk oleh operasi-operasi logika yang lainnya.

Suatu pernyataan majemuk sama seperti pernyataan tunggal adakalanya mempunyai nilai kebenaran benar atau salah, tidak dua-duanya pada saat yang sama. Nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk tergantung pada nilai kebenaran konjung-konjungnya, yaitu nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan asalnya.

Contoh 10

Untuk lebih jelasnya coba Anda perhatikan satu contoh berikut ini :

Jika p : Ati adalah seorang wanita yang cantik.

dan q : Ati adalah seorang wanita yang pandai

maka p ^ q : Ati adalah anak yang cantik dan pandai.

Sekarang akan dicari nilai kebenaran pernyataan-pernyataan majemuk p ^ q, jika nilai kebenaran dari komponen-komponennya yaitu p dan q diketahui. Dalam hal ini, jelas bahwa jika p ^ q benar, maka p, q dua-duanya benar. Demikian pula, jika p dan q masing-masing merupakan pernyataan yang benar, maka dengan sendirinya p ^ q benar pula. Sebaliknya, jika p dan q dua-duanya salah, maka p ^ q pasti salah. Demikian pula, jika salah satu dari p atau q salah, maka p ^ q juga salah. Secara umum berlaku definisi berikut: Sebuah konjungsi benar jika komponen-komponennya benar, tetapi salah jika salah satu komponennya salah atau kedua-duanya salah.

Dalam bentuk tabel kebenaran definisi tersebut dapat Anda lihat seperti berikut :

Baris pertama (1) merupakan singkatan dari Jika p benar dan q benar, maka p dan q adalah benar

Perlu Anda perhatikan, bahwa dalam menyusun suatu tabel kebenaran, segala kemungkinan dari nilai kebenaran komponen-komponennya haruslah disusun secara sistematis di bawah tiap komponen itu, yang selanjutnya digabungkan dengan operasi yang telah ditentukan.

Contoh 11

a.       Jika r : Semua bilangan ganjil merupakan bilangan bulat ; t(r) = B dan s : Semua bilangan genap merupakan bilangan bulat; t(s) = B maka r ^ s : Semua bilangan ganjil dan bilangan genap merupakan bilangan bulat; t(r s) = B. b.

b.      Jika p : 2 + 2 3 ; t(p) = B dan q : 4 < 3 ; t(q) = S maka p ^ q : 2 + 2 3 dan 4 < 3 ; t( p q) = S dan q ^ p : 4 < 3 dan 2 + 2 3 ; t( q p) = S

c.       Jika x : Jakarta Ibu kota Jawa Barat ; t( x) = S dan y : Anjing matanya tiga ; t( y) = S maka x ^ y : Jakarta Ibu kota Jawa Barat dan Anjing matanya tiga ; t( x y) = S

3.      Operasi Disjungsi

Seandainya dua buah pernyataan tunggal digabungkan dengan kata-kata “ atau “, maka pernyataan majemuk yang diperoleh disebut “disjungsi” (disjunction atau alternation), dan masing-masing dari kedua pernyataan tunggal itu disebut “disjung-disjung (alternative).

Pengertian disjungsi yaitu yang berkaitan dengan kata “atau“ mempunyai dua arti yang berbeda. Pertama “atau yang inclusive“ yang disebut juga “atau yang lemah” atau “atau mencakup” yang dalam bahasa Latin ditunjukkan dengan kata “ vel “, yaitu kata “atau yang diartikan “dan atau” maksudnya menyatakan salah satu atau kedua-duanya. Dalam pengertian yang pertama ini kata “atau” dinotasikan  dengan tanda “v“ yang merupakan huruf pertama dari kata vel . dan simbol ini disebut “wedge” atau “vel “. Untuk lebih jelasnya dari atau inklusif ini kita tinjau sebuah contoh berikut : “Ia sedang bercerita atau ia sedang memberikan pelajaran”. Kata “atau” di sini dapat membenarkan kedua bagian pernyataan itu, artinya mencakup bagian-bagiannya. Sebab orang bisa bercerita sambil memberi pelajaran.

Pengertian yang kedua, yaitu kata “atau yang exclusive” yang disebut juga “atau yang kuat” atau “atau memisah”. Dalam kata Latinnya disebut “out”, yaitu kata “atau” yang menyatakan salah satu tetapi tidak kedua-duanya, dan ditulis dengan simbol “v”. Sebagai contoh disjungsi eksklusif ini adalah pernyataan majemuk berikut : “Saya yang pergi atau Anda yang pergi”. Kata atau dalam contoh ini berfungsi sebagai penghubung yang memisahkan pernyataan yang satu dari yang lain, yaitu memisahkan “saya yang pergi” atau “Anda yang pergi”. Dalam pernyataan ini tidak mungkin “saya dan Anda yang pergi” tetapi harus salah satu “saya atau Anda yang pergi”.

Jadi sebuah disjungsi yang menggunakan “atau inklusif” menyatakan bahwa paling sedikit satu komponen benar. Sedangkan disjungsi yang menggunakan “atau eksklusif” menyatakan bahwa paling sedikit satu komponennya benar tetapi tidak dua-duanya. Secara umum dapat dinyatakan seperti berikut. Definisi : Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar, jika paling sedikit satu komponennya benar, dan sebuah disjungsi ekslusif bernilai benar, jika paling sedikit satu komponennya benar tetapi tidak dua-duanya. Tabel kebenaran “atau inklusif” ( v ), dan “atau eksklusif” ( v ) adalah seperti tabel berikut :

Untuk pembahasan selanjutnya yang dimaksudkan dengan kata “atau” adalah “atau imklusif” dengan notasi “v”. Sedangkan untuk “atau ekslusif” dalam pemakaiannya akan disebutkan secara tegas.

Contoh 12

a. Jika p : 2 – 3 3 – 2 ; t(p) = B dan q : 2 + 3 = 3 + 2 ; t(q) = B maka p v q : 2 – 3 3 – 2 atau 2 + 3 = 3 + 2 ; t(p v q ) = B.

b.Jika r : 4 > 3 ; t(r) = B dan s : 3 < 2 ; t(s) = S maka r v s : 4 > 3 atau 3 < 2 ; t(r v s ) = B dan s v r : 3 < 2 atau 4 > 3 ; t(r v s ) = B.

c. Jika x = 27 habis dibagi 2 ; t(x) = S dan y : Jakarta ada di Sumatera ; t(y) = S maka x v y : 27 habis dibagi 2 atau Jakarta ada di Sumatera ; t(x v y) = S

Contoh 13 (Disjungsi eksklusif)

a. Dua garis dalam bidang sejajar atau berpotongan

b. Ia sedang membaca buku atau tidur

c. Saya lahir di Bandung atau Jakarta

4.      Operasi Implikasi

Dalam matematika sering ditemukan pernyataan-pernyataan dalam bentuk “jika maka”. Pernyataa dalam bentuk “jika maka” ini diperoleh dari penggabungan dua pernyataan tertentu. Misalnya dari pernyataan tunggal p dan pernyataan tunggal q, dibentuk kalimat baru yang merupakan pernyatan majemuk dalam bentuk “jika p maka q”. Pernyataan-pernyataan yang berbentuk demikian disebut implikasi (implication), atau kondisional (conditional statement) atau pernyataan-pernyataan bersyarat. Pernyataan “Jika p maka q” dinotasikan “ p à q”. Sedangkan kata penghubung dengan notasi “ à “disebut operasi implikasi.

Contoh 14

Jika p : Segitiga ABC samakaki dan q : Segitiga ABC mempunyai dua sudut yang sama maka p à q : Jika semua segitiga ABC sama kaki, maka segitiga ABC mempunyai dua sudut yang sama.

Dalam pernyataan implikasi, komponen kalimat yang terletak diantara “jika” dan “maka”, yaitu bagian kalimat yang lebih dulu yang menjadi syarat disebut “anteseden” (antecedent). Sedangkan komponen pernyataan yang ditulis kemudian, yaitu bagian belakang yang merupakan akibatnya atau yang mengikutinya disebut “konsekwen” (consequent). Untuk contoh di atas yang menjadi anteseden adalah kalimat p : “Segitiga ABC samakaki”, dan yang menjadi konsekwen adalah kalimat q : “Segitiga ABC mempunyai dua sudut yang sama. Sekarang akan diselidiki nilai kebenaran dari suatu implikasi, tetapi sebelumnya kita tinjau dahulu beberapa implikasi yang berbeda, sehingga kita dapat melihat adanya macam-macam implikasi yang berlainan.

Contoh 15

a. Jika p : Semua kucing suka makan tikus dan q : Si Belang adalah seekor kucing maka p à q : Jika semua kucing suka makan tikus dan si Belang seekor kucing, maka si Belang suka makan tikus.

b. Jika p : Gambar ini adalah sebuah segitiga dan q : Semua segitiga mempunyai tiga sisi maka p à q : Jika gambar ini sebuah segitiga, maka gambar ini mempunyai tiga sisi

c . Jika p : Karet direndam dalam bensin dan q : Karet larut dalam bensin maka p à q : Jika karet direndam dalam bensin, maka karet tersebut akan larut.

Kebenaran implikasi ini bukan persoalan logika atau definisi, tetapi konsekwennya merupakan akibat. Dalam contoh terakhir ini yang ditonjolkan bersifat sebab menyebab atau hubungan sebab akibat dan harus diselidiki secara empiris. Ketiga contoh di atas memperlihatkan adanya macam-macam implikasi yang mempunyai pengertian yang berbeda-beda tentang ungkapan “Jika …, maka …”.

Dengan memperhatikan adanya perbedaan-perbedaan itu kita akan berusaha menemukan arti yang sama atau sebagian arti yang sama mengenai tipe-tipe implikasi tersebut. Dalam hal ini, sebagian arti yang sama dari macam-macam implikasi yang berlainan akan dapat diketahui, bila kita bertanya : “Keadaan apakah yang cukup untuk menentukan kesalahan sebuah pernyataan implikasi ?”. Apabila kita tinjau contoh ketiga di atas, maka pernyataan itu akan salah jika “Karet itu benar-benar direndam dalam bensin dan tidak larut”. Padahal berdasarkan pengalaman memang karet itu larut dalam bensin. Untuk lebih jelasnya tentang dalam hal manakah implikasi yang berbeda-beda itu salah, kita tinjau kembali ketiga contoh di atas, dalam keadaan berikut :

 a. Jika semua kucing suka makan tikus dan si Belang seekor kucing, maka si Belang tidak suka makan tikus.

b. Jika gambar itu benar-benar sebuah segitiga, maka gambar itu tidak mempunyai tiga sisi.

c. Jika karet itu benar-benar direndam dalam bensin, maka karet itu tidak akan larut.

Nilai kebenaran dari ketiga implikasi yang baru ini, adalah salah. Jadi, suatu implikasi dengan anteseden benar dan konsekwen salah haruslah salah. Karenanya tiap implikasi “Jika p maka q” bernilai salah dalam hal konjungsi : “p ^ ~ q” benar. Tetapi agar implikasi “Jika p maka q” bernilai benar, maka konjungsi “p ^ ~q” harus salah. Dengan kata lain, supaya suatu implikasi “Jika p maka q” benar, maka (p q) harus benar. Tabel kebenarannya seperti berikut:

Atau secara singkatnya tabel kebenarannya seperti berikut :

Secara umum berlaku : Definisi : Suatu pernyataan implikasi hanya salah jika antisedennya benar dan konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya pernyataan implikasi itu adalah benar

Contoh 16

Bila p dan q pernyataan-pernyataan yang benar sedangkan r dan s adalah pernyataan-pernyataan yang salah, maka nilai kebenaran dari tiap pernyataan majemuk berikut

1. p à q = B

2. q à r = S

3. r à s = B

4. s à p = B

5. r à ( r à s) = B

6. (r à s) à s = S

7. (r à p) à (q à s) = S

8. (r à p) (~ r à ~p) = S

9. [(p ^ r) àS ]  à (p à s) = S

5.      Operasi Biimplikasi

Selain operasi-operasi negasi, konjungsi, disjungsi dan implikasi dalam logika matematika dikenal pula operasi yang dinamakan operasi biimplikasi. Operasi biimplikasi disebut juga operasi bikondisional ( biconditional), atau operasi implikasi dwi arah, atau operasi ekuivalensi. Operasi biimplikasi ini dinotasikan dengan “ <-> ” yang dapat dibaca sebagai “materially implication” atau “jika dan hanya jika”. Seperti halnya operasi-operasi binar lainnya, maka untuk membentuk pernyataan majemuk biimplikasi diperlukan dua pernyataan sebagai komponen-komponennya. Misalnya komponen pertama adalah pernyataan p dan komponen kedua adalah pernyataan q. Maka pernyataan majemuk “p ekuivalen dengan q” atau “p jika dan hanya jika q” yang dinotasikan “p <-> q” mempunyai arti bahwa p à q dan q à p.

Selanjutnya sebagai konsekwensi logisnya, p <->q akan mempunyai nilai kebenaran yang benar hanya jika p à q dan q à p kedua-duanya bernilai benar. Sedangkan sudah Anda ketahui bahwa implikasi p à q dan q  à p dua-duanya akan benar hanya jika p benar dan q benar, atau p salah dan q salah, sedangkan dalam keadaan lainnya tidak mungkin. Sebab, jika p dan q nilai kebenarannya tidak sama, maka p -> q dan q à p tidak akan saling menyimpulkan berarti kedua-duanya tidak akan benar. Secara umum berlaku : Denifini : Suatu biimplikasi p q benar jika nilai kebenaranp sama dengan nilai kebenaran q, dan biimplikasi p q salah jika nilai kebenaran p tidak sama dengan nilai kebenaran q. Tabel kebenarannya

Contoh 17

a. Jika p : 2 + 2 = 5 ; (S) dan q : 5 adalah bilangan prima ; (B) maka p <-> q : 2 + 2 = 5 jika dan hanya jika 5 adalah bilangan prima t(p <-> q) = S, sebab (p à q) = B dan (q à p) = S

b. Jika p : Indonesia anggota Asean ; (B) dan q : Pilifina anggota Asean ; (B) maka p <-> q : Indonesia anggota Asean jika dan hanya jika Pilifina anggota Asean. t(p <-> q) = B, sebab (p à q) = B dan (q à p) = B

c. Jika p : 4 < 3 ; (S) dan q : 4 = 3 ; (S) maka p <-> q : 4 < 3 jika dan hanya jika 4 = 3 t(p <-> q) = B, sebab (p à q) = B dan (q à p) = B

C.    Pernyataan Berkuantor

1.      Pengertian Kuantor

Suatu kuantor ialah suatu ucapan yang jika dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan dapat mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi sebuah kalimat tertutup atau pernyataan. Pada dasarnya kuantor itu ada dua macam yaitu :

1. Kuantor universal (universal quantifier)

2. Kuantor khusus (existensial quantifier)

Kuantor universal yang disebut pula kuantor umum dilambangkan dengan “∀” yang dibacanya : “setiap“ atau “semua“. Notasi “∀ (x)” dibacanya : “untuk setiap x” atau “untuk semua x”.

Kuantor eksistensial atau ada yang menyebutnya sebagai kuantor khusus dilambangkan dengan “x ∃” yang dibacanya : “sekurang-kurangnya ada satu” atau “ada beberapa”. Untuk notasi “x ∃ (y)” dibacanya : “ada beberapa y” atau “sekurang-kurangnya ada satu y”.

2.      Pengkuantoran Kalimat Terbuka dengan Dua Variabel

Seperti sudah Anda ketahui dalam kegiatan belajar modul lain, bahwa untuk sebuah kalimat terbuka dengan dua variabel, misalnya x dan y dapat dinyatakan dengan p(x , y) , q(x , y), dan sebagainya. Untuk keperluan mengubah suatu kalimat terbuka dengan dua variabel sehingga menjadi kalimat tertutup yang mempunyai nilai kebenaran, diperlukan dua buah kuantor. Dalam hal ini ada beberapa definisi dari kombinasi dua buah kuantor yang akan sangat membantu dalam pembicaraan bagian ini. Definisi :  (∀ x ) (x ∃ y ) p (x , y) ó( ∀ x ) [ (x ∃ y ) p (x , y) ], dibacanya “Untuk setiap x ada y sehingga p(x , y)”.

Jika pada kalimat terbuka dengan dua variabel, yaitu p (x , y) hanya dibubuhkan satu kuantor saja, maka bentuk baru itu masih tetap dianggap sebagai kalimat terbuka, tetapi bentuknya berubah menjadi kalimat terbuka dengan satu variabel. Adapun yang dianggap variabelnya adalah variabel yang tidak dibubuhi kuantor.

Misalnya :

(∀ x ) p (x , y), kalimat terbuka dengan satu variabel yaitu y.

(∃ y ) p(x , y), kalimat terbuka dengan satu variabel yaitu x.

Definisi :

(∃ y ) (∀x ) p (x , y) (∃ y ) [ (∀ x ) p (x , y) ], dibacanya : “Ada y sehingga untuk setiap x, p (x , y)”.

Contoh 18

p (x , y) kalimat terbuka : x + 2y = 7. (∀x ) (∃y ) (x + 2y = 7) Pernyataan berkuantor ini merupakan kalimat tertutup yang benar, karena menurut definisi di atas, jika sebarang bilangan real disubstitusikan untuk x, maka ada bilangan rasional y yang sesuai, sehingga untuk x dan y yang bersangkutan tersebut akan diperoleh jumlah ruas kiri sama dengan 7.

(∀x ) [ (∃ y ) (x + 2y = 7) ] Kalimat tertutup ini benar, karena menurut definisi di atas akan ada sekurang-kurangnya satu bilangan real sebagai pengganti y yang memenuhi x + 2y = 7, jika sebarang bilangan real disubstitusikan untuk x, sehingga untuk x dan y yang sesuai akan diperoleh jumlah ruas kiri sama dengan 7.

Dari kedua pernyataan berkuantor di atas nilai kebenarannya sama, yaitu benar. Akibatnya kedua pernyataan itu merupakan pernyataan-pernyataan yang ekuivalen logis, atau : (∀x ) (∃y ) (x + 2y = 7) ó (∀x ) [ (∃y ) (x + 2y = 7) ].

3.      Negasi Pernyataan Berkuantor

Dalam pembicaraan terdahulu, telah Anda ketahui tentang negasi dari suatu pernyataan. Jika p sebuah pernyataan, maka negasi dari p ditulis p akan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan asalnya. Hal ini berlaku pada pernyataan berkuantor. Bila kita akan menentukan negasi dari suatu pernyataan berkuantor, haruslah berhati-hati dengan pengertian kedua jenis kuantor yang telah Anda kenal. Terutama perbedaan tentang arti kuantor universal dan kuantor eksistensial, yaitu tentang arti kata “semua” dan “beberapa”. Apabila kita perhatikan, bahwa sebenarnya dalam berbagai variasi bentuk-bentuk pernyataan berkuantor hanyalah ada dua kuantor saja. Kuantor universal yang berarti “semua” dan kuantor eksistensial yang berarti “beberapa”. Untuk lebih jelasnya, kita tinjau kembali pengertian negasi dari suatu pernyataan dalam beberapa contoh berikut ini.

Contoh 19

a. Jika p : “Semua bilangan asli adalah bilangan bulat”. Pernyataan ini merupakan kalimat tertutup yang mempunyai nilai kebenaran yang benar untuk semua bilangan asli. Karena itu negasinya harus menyatakan bahwa sekurang-kurangnya ada satu bilangan asli yang bukan bilangan bulat, sehingga mempunyai nilai kebenaran yang salah, yaitu :

 ~p : “Beberapa bilangan asli bukan bilangan bulat”.

b. Jika p : “Beberapa bilangan prima adalah bilangan ganjil”. Pernyataan yang ditentukan merupakan kalimat tertutup yang nilai kebenarannya benar, dan mengandung pengertian yang menyatakan sekurang-kurangnya ada satu bilangan prima yang ganjil. Akibatnya, negasinya harus menyatakan semua bilangan prima tidak ganjil, dan nilai kebenarannya salah, secara lengkapnya yaitu :

 ~p : “Semua bilangan prima tidak ganjil”, atau

~p : “Tidak ada bilangan prima yang ganjil”.

Dari kedua contoh di atas dapatlah kita tarik beberapa kesimpulan yang akan sangat berguna dalam menentukan negasi dari suatu pernyataan berkuantor, yaitu :

1. Jika pernyataan : Semua A ialah B,  maka negasinya : Beberapa A bukan B.

2. Jika pernyataan : Beberapa A ialah B,  maka negasinya : Semua A bukan B,  Tidak ada A yang merupakan B.

Dua buah kesimpulan di atas dapat pula kita tulis dalam simbol logika berkuantor sebagai berikut :

1. (∀x ) p(x) negasinya ~[ (∀x ) p (x) ]

2. (∃ x ) p(x) negasinya ~[ (∃ x ) p(x) ]

Jika lebih jauh lagi membandingkan diantara kesimpulan dan hal yang logis tentang negasi seperti kenyataan-kenyataan di atas, maka akan diperoleh postulat-postulat yang sangat penting tentang negasi pernyataan yang memuat sebuah kuantor, yaitu : 1. ~[ (∀x ) p(x) ] ó (∃x ) [ ~p(x) ]

2. ~[ (∃x ) p(x) ] ó( ∀x ) [~ p(x) ]

Postulat yang pertama dapat dibaca sesuai dengan pengertian yang bersifat logis dan umum, yaitu “tidak menerima bahwa p(x) memuat semua x” ekuivalen logis dengan “menerima bahwa ada x yang tidak termuat dalam p(x).

Contoh 20

a. “Tidak semua orang akan mati “adalah ekuivalen logis dengan “Ada orang yang tidak akan mati”.

b. “Tidak semua bunga berwarna merah” berarti “Ada bungan yang tidak berwarna merah”.

Demikan juga postulat yang kedua, sesuai pula dengan pengertian yang bersifat logis dan umum, yaitu : “Tidak menerima bahwa ada x yang termuat dalam p(x)” ekuivalen logis dengan “Menerima bahwa semua x tidak termuat dalam p(x)”.

Contoh 21

a. “Tidak ada orang yang hidup terus” adalah ekuivalen logis dengan “Semua orang tidak akan hidup terus”.

b. “Tidak ada siswa yang sakit” sama artinya dengan “Semua siswa tidak ada yang sakit”. Untuk lebih memahami kedua postulat di atas, cobalah Anda tentukan negasi

dari tiap pernyataan contoh berikut sebelum langsung melihat jawabannya.

Dari tadi, pembahasan negasi dari pernyataan berkuantor ini dikhususkan pada pernyataan-pernyataan dengan satu kuantor saja. Namun dengan postulat dan definisi dari bagian terdahulu itu, dapat pula dipakai untuk menyangkal kalimat tertutup yang memuat dua kuantor.

Contoh 22

Tulislah negasi-negasi dari kalimat tertutup berikut, dengan ketentuan x dan y adalah bilangan real.

a. ( x) ( y ) ( 2x + y = 4 ) 30

b. ( x ) ( y ) ( x + y y + x )

c. ( x ) ( y ) (xy = yx ).

Jawab :

a. ~( ∀x) (∃y ) ( 2x + y = 4 ) ó~( ∀x) [(∃ y ) ( 2x + y = 4 ) ] ó( ∃x ) [ ~(∃ y ) ( 2x + y = 4 ) ] ó (∃x ) [ (∀ y )~ ( 2x + y = 4 ) ] ó (∃x ) (∀ y ) ( 2x + y ≠4 )

b. ~(∃ x ) (∃y ) ( x + y≠ y + x ) ó ~(∃ x ) [ (∃ y ) ( x + y≠ y + x ) ] ó (∀ x ) [ ~(∃ y ) ( x + y≠ y + x ) ] ó (∀ x ) [ (∀ y )~ ( x + y≠ y + x ) ] ó (∀x ) (∀y ) ( x + y = y + x )

c. ~(∀x ) (∀ y ) (xy = yx ) ó ~(∀x ) [ (∀ y ) (xy = yx ) ] ó( ∃x ) [~ (∀y ) (xy = yx ) ] ó (∃x ) [ (∃ y )~ (xy = yx ) ] ó (∃x ) [ (∃y ) (xy≠ yx ) ]

Apabila diperhatikan nilai kebenaran dari tiap pernyataan berkuantor di atas, ternyata pernyataan contoh satu adalah benar dan negasinya adalah salah. Nilai kebenaran pernyataan contoh dua adalah salah dan negasinya benar. Sedangkan contoh pernyataan tiga adalah benar dan negasinya jelas salah.

Sebelum mengakhiri pembicaraan kuantor ini, ada suatu hal yang perlu untuk disepakati, yaitu jika dalam suatu kuantor tidak ditentukan himpunan semesta pengganti variabelnya, maka yang dimaksudkan adalah himpunan yang sifatnya lebih luas. Misalnya dalam pembicaraan bentuk-bentuk aljabar maka himpunan semesta penggantinya adalah himpunan bilangan real.

Perlu pula diketahui bahwa pernyataan berkuantor dan negasinya dapat pula disajikan dengan bantuan diagram Venn. Bahasan tentang diagram Venn dan pernyataan berkuantor dapat Anda pelajari secara utuh pada modul mata kuliah Pengantar Dasar Matematika.

D.    Penarikan Kesimpulan

Dalam bahasan logika matematika banyak dilakukan kegiatan penalaran yang berhubungan dengan berbagai pernyataan. Kegiatan penalaran ini meliputi aktivitas berpikir yang abstrak, karena kegiatannya berkaitan dengan penarikan kesimpulan dari sebuah proposisi atau lebih. Untuk selanjutnya kegiatan penalaran ini dilambangkan dengan sesuatu yang disebut argumen.

1.      Argumen

Sebuah argumen dapat didefinisikan sebagai kelompok proposisi atau pernyataan. Salah satu dari proposisi atau pernyataan itu diturunkan dari yang lainnya yang dipandang sebagai dasar yang satu itu. Dengan kata lain, sebuah argumen adalah suatu kelompok proposisi, sehingga untuk proposisi yang satu diharapkan mengikuti proposisi yang lain yang dianggap sebagai dasar bagi kebenaran yang satunya itu. Setiap argumen terdiri dari pernyataan-pernyataan tertentu dan pernyataan lain yang dapat mengikutinya secara logis.

Pernyataan-pernyataan tertentu itu disebut premis, sedangkan pernyataan lain disebut konklusi, dalam bahasa Yunani syllogisme. Untuk selanjutnya, kita diminta menarik konklusi dari sejumlah premis yang ditentukan. Seandainya konklusi yang diturunkan ini mengikuti secara logis premis-premis tertentu yang diberikan, maka argumen tersebut dikatakan valid (syah, shahih, atau absah), jika tidak demikian dikatakan invalid.

Pengertian premis dan konklusi adalah relatif, artinya sebuah pernyataan atau proposisi dapat berperan sebagai premis pada suatu argumen, tetapi ia dapat berberan pula sebagai konklusi pada argumen yang lain.

Contoh 23

(a) . 1. Semua pegawai negeri dalam KORPRI

       2. Semua KORPRI adalah penerima gaji

       3. Jadi semua pegawai negeri penerima gaji.

(b). 1. Semua pegawai negeri adalah penerima gaji.

       2. Semua penerima gaji adalah karyawan.

       3. Jadi pegawai negeri adalah karyawan

Pada contoh (a) dan (b) di atas, pernyataan-pernyataan (1) dan (2) dinamakan premis-premis, sedangkan pernyataan (3) dinamakan konklusi. Sedangkan konklusi pada argumen pertama, yaitu pernyataan (3) pada contoh (a), merupakan premis pada argumen yang kedua, yaitu pernyataan (1) pada contoh (b).

Perlu diketahui pula bahwa ada yang menyebutkan premis mayor untuk premis-premis yang pertama dan premis minor untuk premis-premis yang kedua. Selain pengertian premis dan konklusi itu relatif, kita harus berhati-hati pula mengenai pengertian valid dan invalid dari sebuah argumen. Persoalan mengenai valid atau invalid sebuah argumen harus dibedakan dengan persoalan mengenai benar atau salah sebuah pernyataan.

Contoh 24

a. Hitler seorang Polandia ( S )

Semua orang Polandia orang Eropa ( B )

Jadi Hitler orang Eropa ( B )

Dalam contoh pertama ini, nilai kebenaran konklusinya adalah benar yang ditarik secara valid dari premis pertama yang nilai kebenarannya salah dan premis yang kedua nilai kebenarannya benar,

b.Hitler seorang Polandia ( S )

Semua orang Polandia orang Asia ( S )

Jadi Hitler orang Asia ( S )

Dalam contoh yang kedua ini, kebenaran konklusinya salah yang ditarik secara valid dari dua premis dengan nilai kebenaran yang salah. Sebaliknya, sebuah argumen tidaklah harus valid, walaupun premis-premisnya serta konklusinya benar.

c. 100 adalah bilangan genap ( B )

Setiap bilangan genap adalah real ( B )

Jadi 101 adalah bilangan real ( B )

Semua pernyataan dalam contoh tiga ini adalah benar, tetapi semua orang dapat mengetakan bahwa konklusinya tidak mengikuti secara logis dari premis-premis. Dengan kata lain argumen ini adalah invalid.

Jadi dapatlah kita ketahui, bahwa suatu pernyataan dapat merupakan premis atau konklusi bergantung pada konteksnya. Pernyataan itu merupakan premis, bila muncul sebagai asumsi dalam argumen untuk kepentingan pembuktian suatu pernyataan lain. Tapi pernyataan itu merupakan konklusi, bila dalam argumen tersebut muncul sebagai hal yang diminta untuk dibuktikan berdasarkan pernyataan-pernyataan lain yang diasumsikan.

Sedangkan valid dan tidak validnya sebuah argumen, tidaklah tergantung pada nilai kebenaran dari premis-premis dan konklusinya, tetapi tergantung pada penarikan konklusi dari premis-premisnya. Perhatikan kembali contoh 24(a), (b), dan (c) di atas.

Perlu diketahui pula bahwa ada dua macam argumen, yaitu argumen deduktik (deductive argument). Deduktif logika mempunyai tugas untuk menjelaskan sifat dari hubungan yang berlaku antara premis dan konklusi dalam sebuah valid argumen, serta memberikan teknik untuk membedakan valid dan invalid dari argumen tersebut. Sedangkan dalam argumen induktif hanya memerlukan tuntutan bahwa premis-premisnya memberikan sesuatu dasar untuk konklusinya.

2.      Aturan Penyimpulan \

Jika Anda akan melakukan penyimpulan, maksudnya tentu untuk menemukan kebenaran. Untuk melaksanakan kegiatan tersebut, pola berpikirnya bertitik tolak dari pengetahuan yang sudah ada, artinya berdasarkan pada hal-hal yang diketahui benar, yaitu hal-hal yang memang benar, atau hal-hal yang benar-benar salah. Dengan kata lain tentunya kita bertolak dari hal-hal yang mempunyai nilai kebenaran.

Dalam bentuk validitas pola berpikir suatu argumen, ada pengetahuan yang menjadi dasar dari konklusi itu, yaitu premis-premis. Jadi seperti sudah diketahui bahwa semua proposisi dalam premis harus benar. Syarat ini adalah syarat yang pertama untuk memperoleh konklusi yang benar dalam hubungannya dengan pemilihan proposisi pada kegiatan validitas suatu argumen. Selain dari itu, di dalam kegiatan validitas argumen ada pula hal-hal yang meliputi penyusunan proposisi-proposisinya. Proposisi-proposisi yang menjadi premis yang dijadikan dasar penyimpulan haruslah mempunyai susunan yang tepat. Kalau untuk menarik kesimpulan yang logis, misalnya dalam hal-hal berikut ini.

Contoh 25

a.       Semua segitiga adalah gambar datar (B)

Semua segiempat adalah gambar datar (B)

Jadi segitiga adalah segiempat (S)

b.      Semua bilangan asli adalah bilangan real (B)

Semua bilangan bulat adalah bilangan real (B)

Jadi bilangan asli adalah bilangan bulat (B)

Kedua contoh di atas memperlihatkan bagaimana susunan proposisi-proposisi yang menjadi premis tidak tepat, sehingga tidak dapat dijadikan dasar titik tolak untuk menarik kesimpulan yang valid. Sebagai lawannya, Anda perhatikan contoh berikutnya.

c.       Semua segitiga adalah poligon (B)

Semua poligon adalah gambar datar (B)

Jadi segitiga adalah gambar datar (B)

d.      Semua bilangan bulat adalah bilangan real (B)

Semua bilangan asli adalah bilangan bulat (B)

Jadi bilangan asli adalah bilangan real (B)

Dalam contoh 31(c) dan 31(d) di atas, sususnan dari proposisi-proposisi yang menjadi premis adalah tepat. Jika kegiatan pola berpikir di atas dikosongkan dari isi pengertian-pengertian di dalamnya, dan digantikan dengan tanda-tanda huruf tertentu, maka kita dapatkan pola penyusunan berikut :

Semua a adalah b

b adalah c

Jadi a adalah c atau Semua a dalah c b adalah a

Jadi b adalah c

Kedua pola kegiatan penarikan kesimpulan di atas adalah sama, yaitu didapatnya penarikan kesimpulan untuk argumen yang valid.

Semua argumen apapun sebagai isinya, sebagai pengganti dari huruf-huruf a, b, dan c, asalkan bentuk susunannya tepat dipastikan tentu konklusinya benar dan merupakan argumen yang valid. Jadi, huruf a, b, dan c dapat diganti oleh pengertian apa saja, asal premis-premisnya benar konklusinya juga tentu benar. Misalnya bentuk itu dijadikan kegiatan pola berpikir berikut:

e.       Semua mojang priangan itu wanita yang luwes

Yuliawati itu mojang priangan

Jadi Yuliawati itu wanita yang luwes

Namun kita harus berhati-hati pula dalam menentukan validitas ini, karena walaupun pola susunannya sama, akan tetapi kalau struktur proposisi di dalam premis berubah, maka mungkin didapat argumen yang invalid. Misalnya dalam contoh 31(e) di atas “Semua mojang priangan” diganti dengan “Beberapa mojang priangan”, maka struktur premis pertama berubah dan argumennya menjadi invalid, yaitu :

f.       Beberapa mojang priangan wanita luwes

Yuliawati mojang priangan

Jadi Yuliawati adalah wanita luwes

Jelaslah bahwa penarikan kesimpulan di atas tidak dapat diturunkan dari premis-premisnya, walaupun kedua premisnya adalah benar, Kesesasatan penarikan kesimpulan dari premis-premis yang benar, sehingga didapat konklusi yang salah seperti di atas disebut kesesatan non squitur, konklusinya tidak mengikuti secara logis dari premis-premisnya.

Dalam proses penalaran dari suatu argumen yang valid, proses berpikirnya berdasarkan premis-premis yang benar dan penarikan konklusinya yang benar pula. Berdasarkan asumsi bahwa argumen itu valid, maka ada hubungan kebenaran antara proposisi yang menjadi premis dan proposisi yang menjadi konklusi. Hal ini dapat dirumuskan dalam beberapa aturan penyimpulan berikut :

a. Jika premis-premisnya benar, maka konklusi argumen itu adalah benar. Aturan ini cukup jelas, karena konklusi itu terkandung dalam premis, sehingga jika premis-premisnya benar, tentu konklusinya harus benar pula. Sebaliknya jika konklusinya salah, maka kesalahan itu disebabkan oleh premisnya yang sudah salah. Kesalahan konklusi sudah terkandung dalam premis yang salah, sehingga didapatkan suatu aturan penyimpulan yang kedua.

b. Jika konklusi suatu argumen salah, maka premis-premisnya juga salah. Akan tetapi jika premis-premis argumen itu salah belum tentu konklusinya salah. Sebagai akibatnya didapatkan aturan penyimpulan yang ketiga yaitu :

c. Jika premis-premisnya salah, konklusi argumen itu bisa benar bisa pula salah. Akan tetapi jika konklusinya benar belum tentu premisnya benar, artinya 37

premisnya dapat salah. Sebagai akibatnya diperoleh aturan penyimpulan yang keempat.

d. Jika konklusinya benar, premis-premis argumen bisa benar bisa salah. Selain dari contoh-contoh terdahulu yang merupakan pemakaian dari aturan-aturan di atas, sekarang kita tinjau beberapa contoh lain untuk memperlihatkan kebenaran dari aturan-aturan di atas yang belum diberikan dalam contoh terdahulu.

Contoh 26

a.       9 adalah bilangan prima (S)

Semua bilangan prima adalah ganjil (S)

Jadi 9 adalah bilangan ganjil (S)

b.      Napoleon adalah orang Inggris (S)

Semua orang Inggris adalah orang Eropa (B)

Jadi Napoleon adalah orang Eropa (B)

c.       Napoleon adalah orang Perancis (B)

Semua orang Perancis orang Amerika (S)

Jadi Napoleon adalah orang Amerika (S)

Baca Selengkapnya...